微分几何入门与广义相对论 I

同胚 流形 $C^r$$C^r$性 微分同胚

两个拓扑空间中的函数 $f$$f$ 连续，如果

两个拓扑空间同胚（homeomorphism），如果存在双射 $f$$f$ 满足

一个拓扑空间$(X,\mathcal{T})$$(X,\mathscr{T})$是 $n$$n$ 维流形，如果存在开覆盖 $\{O_{\alpha }\}$$\{O_\alpha\}$，满足

两个流形 $M,M^{\prime }$$M,M'$ 上的函数 $f:M\to M^{\prime }\in C^r$$f:M\to M'\in C^r$，如果

考虑到同一流形各图相容，$O_{\alpha },O_{\beta }$$O_\alpha, O_\beta$ 可任取。

两个流形 $M,M^{\prime }$$M,M'$ 微分同胚（diffeomorphism），如果存在双射 $f:M\to M^{\prime }$$f:M\to M'$ 满足

标量场 曲线 矢量场 积分曲线

标量场（或称函数）$f:M\to \mathbb{R}$$f:M\to \mathbb{R}$。记流形 $M$$M$ 上的全体光滑($C^{\mathrm{\infty }}$$C^\infty$)标量场为 ${\mathcal{F}}_M$$\mathscr{F}_M$。定义 $p\in M$$p\in M$ 处的矢量 $v$$v$ 为映射 $v:{\mathcal{F}}_M\to \mathbb{R}$$v:\mathscr{F}_M\to \mathbb{R}$，满足

🖊 定理：全体矢量构成一个线性空间 $V_p$$V_p$，其维数与流形 $M$$M$ 相同。

取一个覆盖 $p$$p$ 的坐标系 $(O_{\alpha },{\psi }_{\alpha })$$(O_\alpha,\psi_\alpha)$。可以证明，$\{\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\}$$\{{\part \over \part x^\mu}\}$ 构成一组 $V_p$$V_p$ 的基矢。

🖊 定理：设矢量 $v=v^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=v^{\prime \nu }\frac{\partial }{\partial x^{\prime \nu }}$$v=v^\mu {\part \over \part x^\mu}=v' ^\nu{\part \over \part x'^\nu}$，其中 $\{x^{\mu }\},\{x^{\prime \nu }\}$$\{x^\mu\},\{x'^\nu\}$ 分别为两个坐标系中的坐标。则有 $v^{\mu }=\frac{\partial x^{\mu }}{\partial x^{\prime \nu }}{v}^{\prime \nu }$$v^\mu={\part x^\mu\over \part x'^\nu}v'^\nu$

定义流形上的（$C^{\mathrm{\infty }}$$C^\infty$类）曲线 $C:I\to M\in C^{\mathrm{\infty }}$$C:I\to M\in C^\infty$，其中 $I$$I$ 为 $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$ 中的任意区间。记 $t\in I$$t\in I$，记曲线为 $C(t)\in M$$C(t)\in M$。定义曲线 $C$$C$ 在 $C(t_0)$$C(t_0)$ 处的切矢 $T\in V_p$$T\in V_p$，满足

考虑到这其实是一元函数，所以也可以写成 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$$\dd\over \dd t$。显然坐标曲线的切矢就是 $\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}$${\part \over \part x^\mu}$。显然有 $\frac{\partial }{\partial t}=\frac{d{x}^{\mu }}{dt}\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}$${\part \over \part t}={dx^\mu\over dt}{\part \over\part x^\mu}$。

矢量场 $v:M\to V_p(p\in M)$$v:M\to V_p~(p\in M)$。称矢量场 $v$$v$ 是 $C^r$$C^{r}$ 类的，若 $\mathrm{\forall }f\in {\mathcal{F}}_M,v{|}_p(f):M\to \mathbb{R}\in C^r$$\forall f\in \mathscr{F}_M,~ v|_p(f):M\to \mathbb{R}\in C^r$。注意：矢量场不是一个 $M\to M$$M\to M$  的映射，因为每个点的像空间都是不同的 $V_p\ne V_{p^{\prime }}$$V_p\ne V_{p'}$。故普通的 $C^r$$C^r$ 定义是不对的。

定义对易子（commutator）算符 $[u,v]$$[u,v]$ 是矢量场，其中 $u,v$$u,v$ 是矢量场。满足 $[u,v](f)=u(v(f))-v(u(f))$$[u,v](f)=u(v(f))-v(u(f))$。对每个点 $p,[u,v{]}_p(f)=u_p(v(f))-v_p(u(f))$$p,~[u,v]_p(f)=u_p(v(f))-v_p(u(f))$。

矢量场中的积分曲线满足

🖊 $C^{\mathrm{\infty }}$$C^\infin$ 矢量场中的每一点 $p$$p$，总存在经过它的积分曲线。

单参微分同胚群

群 $(S,\times )$$(S,\times)$满足：

1. 结合律

2. 幺元

3. 逆元

流形 $M$$M$ 上的单参微分同胚映射 $\varphi :\mathbb{R}\times M\to M$$\phi:\R\times M\to M$ 。其中记

若满足 ${\varphi }_t\circ {\varphi }_s={\varphi }_{t+s}$$\phi_t\circ\phi_s=\phi_{t+s}$，则 $\{{\varphi }_t|t\in \mathbb{R}\}$$\{\phi_t|t\in\R\}$ 构成一个群，称为单参微分同胚群，群乘法定义为

${\varphi }_p(t)$$\phi_p(t)$ 是 $M$$M$ 上一条过 $p$$p$ 的曲线，可以通过其在 $p$$p$ 点的切矢定义一个光滑的矢量场。

对偶空间 同构 自然同构

矢量空间 $V$$V$ 的对偶空间定义为 $V^{\ast }=\{\omega |\omega :\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}V\to \mathbb{R}\}$$V^*=\{\omega|\omega:{\rm linear}~V\to \R\}$。其中定义

🖊 显然 $V^{\ast }$$V^*$ 是线性空间且 $\dim V=\dim V^{\ast }$$\dim V=\dim V^*$。

线性空间的同构（isomorphism）映射是一个双射，它与线性运算可交换。

矢量空间 $V$$V$ 的对偶空间 $V^{\ast }$$V^*$ 的对偶空间 $V^{\ast \ast }$$V^{**}$ 与 $V$$V$ 有一个自然同构：

若 $V$$V$ 中有基底 $\{e_{\mu }\}$$\{e_\mu\}$ ，称 $\{e^{\mu \ast }\}$$\{e^{\mu *}\}$ 为 $V^{\ast }$$V^*$ 中的对偶基，若 $e^{\mu \ast }(e_{\nu })={\delta }_{\nu }^{\mu }$$e^{\mu*}(e_\nu)=\delta_\nu^\mu$。

🖊 设 $V$$V$ 中的基底 $\{e_{\mu }^{\prime }\}$$\{e'_\mu\}$ 与 $\{e_{\nu }\}$$\{e_\nu\}$ 满足 $e_{\mu }^{\prime }=A^{\nu }{}_{\mu }{e}_{\nu }$$e_\mu'=A^\nu{}_\mu e_\nu$，则 $\{e^{\prime \mu \ast }\}$$\{e'^{\mu*}\}$ 与 $\{e^{\nu \ast }\}$$\{e^{\nu*}\}$ 满足关系式： $e^{\prime \mu \ast }=(A^{-T}{)}_{\nu }{}^{\mu }{e}^{\nu \ast }$$e'^{\mu*}=(A^{-T})_\nu{}^\mu e^{\nu*}$。

对于流形 $M$$M$ 上 $p$$p$ 点处的矢量空间 $V_p$$V_p$，其有对偶空间 $V_p^{\ast }$$V_p^*$。可构成 $M$$M$ 上的对偶矢量场。每个标量场 $f$$f$ 对应一个对偶矢量场 $\mathrm{d}f$$\dd f$，定义为

🖊 取流形 $M$$M$ 中某个坐标系 $\{x^{\mu }\}$$\{x^\mu\}$，对偶矢量空间有基底 $\{\mathrm{d}{x}^{\mu }\}$$\{\dd x^\mu\}$。满足关系 $\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x^{\mu }}\mathrm{d}{x}^{\mu }$$\dd f={\part f\over \part x^\mu}\dd x^\mu$

张量 张量积 张量积基底

记矢量空间 $V$$V$ 的 $(k,l)$$(k,l)$ 型张量的全体为 $\mathcal{T}(k,l)$$\mathscr{T}(k,l)$，满足：

张量积定义为：

🖊 一般张量积不可交换。

🖊 $(k,l)$$(k,l)$ 型张量构成 $(\dim V{)}^{k+l}$$(\dim V)^{k+l}$ 维线性空间。有基底 $e_{i_1}\otimes ...\otimes e_{i+k}\otimes e^{j_1\ast }\otimes ...\otimes e^{j_l\ast }$$e_{i_1}\otimes ...\otimes e_{i+k}\otimes e^{j_1*}\otimes ...\otimes e^{j_l*}$。满足关系（以 (2,1) 型为例）：

🖊 当从基底 $(e^{\mu \ast },e_{\nu })$$(e^{\mu*},e_\nu)$ 变换到基底 $(e^{\prime \alpha \ast },e_{\beta }^{\prime })$$(e'^{\alpha*},e'_\beta)$ 时，张量分量的变换为（以(2,1)型为例）

缩并 张量场

缩并运算被定义为

其中两个分别为第i个上槽和第j个下槽。

🖊 缩并运算的结果与所选的基矢量无关。

张量场为一个映射 $M\to {\mathcal{T}}_{V_p}(k,l)(p\in M)$$M\to \mathscr{T}_{V_p}(k,l)~~(p\in M)$。

🖊 当M上的坐标从 $(x^{\mu })$$(x^\mu)$ 到 $(x^{\prime \nu })$$(x'^\nu)$ 时，张量分量满足变换关系：

度规 号差 曲线长度

度规 $\mathbf{g}\in \mathcal{T}(0,2)$$\mathbf{g}\in \mathscr{T}(0,2)$ 满足

1. 对称性：$\mathbf{g}(u,v)=\mathbf{g}(v,u)$$\newcommand{\gg}{\mathbf{g}} \gg (u,v)=\gg (v,u)$

2. 非退化?：$\mathrm{\forall }v,\mathbf{g}(u,v)=0\Rightarrow u=0$$\forall v,~\gg (u,v)=0~~\Rarr u=0$

利用度规可以定义正交归一性。 $\mathbf{g}$$\gg$ 可用正交归一的基底写成对角线为 $\pm 1$$\pm 1$ 的对角阵，1与-1的个数固定，对角元之和称为号差（即惯性指数）。全正的为黎曼型，有一个-1的为洛伦兹型。

定义流形 $M$$M$ 上的曲线 $C$$C$ 的长度定义为

🖊 曲线的长度不依赖参数 $t$$t$ 的变换

抽象指标记号

定义 ${\delta }^a{}_b\in \mathcal{T}(1,1):{\delta }^a{}_b{v}^b=v^a$$\delta^a{}_b\in \mathscr{T}(1,1):~~\delta^a{}_bv^b=v^a$ 为 $V\to V$$V\to V$ 中的不变映射。

🖊 在任意基底 $\{(e_{\nu }{)}^a\}$$\{(e_\nu)^a\}$ 与其对偶基底 $\{(e^{\mu }{)}_b\}$$\{(e^\mu)_b\}$下有 ${\delta }^a{}_b={\delta }^{\nu }{}_{\mu }(e_{\nu }{)}^a(e^{\mu }{)}_b$$\delta^a{}_b=\delta^\nu{}_\mu(e_\nu)^a(e^\mu)_b$

🖊 对任意基底 $\{(e_{\nu }{)}^a\}$$\{(e_\nu)^a\}$ 与其对偶基底 $\{(e^{\mu }{)}_b\}$$\{(e^\mu)_b\}$ 有 ${\delta }^a{}_b=(e_{\mu }{)}^a(e^{\mu }{)}_b$$\delta^a{}_b=(e_\mu)^a(e^\mu)_b$

记 $M$$M$ 上的度规为 $g_{ab}$$g_{ab}$。定义 $g^{ab}=(g_{ab}:V\to V^{\ast }{)}^{-1}$$g^{ab}=(g_{ab}:V\to V^*)^{-1}$。定义（以(1,2)型张量为例）

🖊 显然有 $g^{ab}{g}_{bc}={\delta }^a{}_c$$g^{ab}g_{bc}=\delta^a{}_c$

🖊 $g_{ab}{\left(\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\right)}^b=g_{\mu \nu }(\mathrm{d}{x}^{\nu }{)}_a$$g_{ab}\left(\part \over \part x^\mu\right)^b=g_{\mu\nu}(\dd x^\nu)_a$。更一般地：$g_{ab}{\left(e_{\mu }\right)}^b=(e_{\mu }{)}_a=g_{\mu \nu }(e^{\nu }{)}_a$$g_{ab}\left(e_\mu\right)^b=(e_\mu)_a=g_{\mu\nu}(e^\nu)_a$ 对称地，有 $(e^{\nu }{)}^a=g^{\mu \nu }(e_{\mu }{)}^a$$(e^\nu)^a=g^{\mu\nu}(e_\mu)^a$。

用 $T^{ab}=T^{ba}$$T^{a b}=T^{b a}$ 表示 $T^{ab}$$T^{a b}$ 是对称的。

逻辑链

1. 在 $M$$M$ 上定义矢量基底 $(e_{\mu }{)}^a$$(e_\mu)^a$

2. 在 $M$$M$ 上定义矢量的恒等映射张量 ${\delta }^a{}_b$$\delta^a{}_b$ 满足

   $${\delta }^a{}_b{v}^b=v^a$$

   籍此可证

   $${\delta }^a{}_b{\omega }_a={\omega }_b$$

   进而得到 ${\delta }^a{}_b$$\delta^a{}_b$ 对任意类型的张量都是恒等变换。

3. 在 $M$$M$ 上定义 $(e_{\mu }{)}^a$$(e_\mu)^a$ 的对偶基底 $(e^{\nu }{)}_b$$(e^\nu)_b$ 满足

   $$(e_{\mu }{)}^a(e^{\nu }{)}_b={\delta }^a{}_b$$

   在 $(e_{\mu }{)}^a,(e^{\nu }{)}_b$$(e_\mu)^a,(e^\nu)_b$ 下有：

   1. $T^{ab}{}_c=T^{\mu \nu }{}_{\sigma }(e_{\mu }{)}^a(e_{\nu }{)}^b(e^{\sigma }{)}_c$$T^{ab}{}_c=T^{\mu\nu}{}_{\sigma}(e_\mu)^a(e_\nu)^b(e^\sigma)_c$，其中 $T^{\mu \nu }{}_{\sigma }=T^{ab}{}_c(e^{\mu }{)}_a(e^{\nu }{)}_b(e_{\sigma }{)}^c$$T^{\mu\nu}{}_{\sigma}=T^{ab}{}_c(e^\mu)_a(e^\nu)_b(e_\sigma)^c$

   2. ${\delta }^a{}_b={\delta }^{\mu }{}_{\sigma }(e_{\mu }{)}^a(e^{\sigma }{)}_b$$\delta^a{}_b=\delta^{\mu}{}_{\sigma}(e_\mu)^a(e^\sigma)_b$ 其中 ${\delta }^{\mu }{}_{\nu }={\delta }_{\nu }^{\mu }$$\delta^\mu{}_\nu=\delta^\mu_\nu$。这里的 ${\delta }_{\nu }^{\mu }$$\delta^\mu_\nu$ 为克罗内克符号。

4. 在 $M$$M$ 上定义度规 $g_{ab}$$g_{ab}$。度规是对称的。

5. 在 $M$$M$ 上定义度规的逆运算 $g^{ab}$$g^{ab}$ 满足：

   $$g^{ab}{g}_{bc}={\delta }^a{}_b$$

6. 定义 $v_b=g_{ab}{v}^a,{\omega }^b=g^{ab}{\omega }_a,T_d{}^b{}_c=T^{ab}{}_c{g}_{ad}$$v_b=g_{ab}v^a,~\omega^b=g^{ab}\omega_a,~T_d{^b}{_c}=T^{ab}{_c}g_{ad}$ 等。

注意：

• ${\delta }^a{}_b$$\delta^a{_b}$ 的分量只有在对偶基底组下才是克罗内克符号。${\delta }_{ab}$$\delta_{ab}$ 指的是欧式度规，而非 ${\delta }^c{}_b{g}_{cd}$$\delta^c{_b}g_{cd}$，同样 ${\delta }^{ab}$$\delta^{ab}$ 是欧式度规的逆运算。若令 ${\delta }_a{}^b=g_{ac}{g}^{bd}{\delta }^c{}_d$$\delta_a{^b}=g_{ac}g^{bd}\delta^c{_d}$，则 ${\delta }_a{}^b$$\delta_a{^b}$ 仍是恒等映射。

• $(e_{\mu }{)}_a=(e_{\mu }{)}^b{g}_{ab}$$(e_\mu)_a=(e_\mu)^bg_{ab}$ 一般不等于 $(e^{\mu }{)}_a$$(e^\mu)_a$

导数算符 ${\mathrm{\nabla }}_a$$\nabla_a$

定义流形 $M$$M$ 上的全体 $(k,l)$$(k,l)$ 型张量场为 $\mathcal{F}(k,l)$$\mathscr{F}(k,l)$。定义导数算符 ${\mathrm{\nabla }}_a:\mathcal{F}(k,l)\to \mathcal{F}(k,l+1)$$\nabla _a:\mathscr{F}(k,l)\to\mathscr{F}(k,l+1)$ ，满足如下条件

1. 线性：${\mathrm{\nabla }}_a(\alpha T^{...}{}_{...}+\beta S^{...}{}_{...})=\alpha {\mathrm{\nabla }}_a{T}^{...}{}_{...}+\beta {\mathrm{\nabla }}_a{S}^{...}{}_{...}$$\nabla_a(\alpha T^{...}{}_{...}+\beta S^{...}{}_{...})=\alpha \nabla_aT^{...}{}_{...}+\beta\nabla_aS^{...}{}_{...}$

2. 莱布尼兹性：${\mathrm{\nabla }}_a(T^{...}{}_{...}{S}^{...}{}_{...})=T^{...}{}_{...}{\mathrm{\nabla }}_a{S}^{...}{}_{...}+S^{...}{}_{...}{\mathrm{\nabla }}_a{T}^{...}{}_{...}$$\nabla_a( T^{...}{}_{...}S^{...}{}_{...})=T^{...}{}_{...}\nabla_aS^{...}{}_{...}+S^{...}{}_{...}\nabla_aT^{...}{}_{...}$

3. 与缩并可交换：${\mathrm{\nabla }}_a({\delta }^b{}_c{T}^{c...}{}_{b...})={\delta }^b{}_c{\mathrm{\nabla }}_a{T}^{c...}{}_{b...}$$\nabla_a(\delta^b{}_cT^{c...}{}_{b...})=\delta^b{}_c\nabla_aT^{c...}{}_{b...}$，即 ${\mathrm{\nabla }}_a{\delta }^b{}_c=0^b{}_{ac}$$\nabla_a\delta^b{}_c=0^b{}_{ac}$

4. $v(f)=v^a{\mathrm{\nabla }}_{a}f,\mathrm{w}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}f\in \mathcal{F}(0,0)\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{d}$$v(f)=v^a\nabla_af,~~{\rm where}~f\in \mathscr{F}(0,0)~{\rm is~a~scalar~field }$，即 ${\mathrm{\nabla }}_{a}f=(\mathrm{d}f{)}_a$$\nabla_af=(\dd f)_a$

5. 无挠性：${\mathrm{\nabla }}_a{\mathrm{\nabla }}_{b}f={\mathrm{\nabla }}_b{\mathrm{\nabla }}_{a}f$$\nabla_a\nabla_b f=\nabla_b\nabla_a f$

将（例如） ${\mathrm{\nabla }}_a{T}^b{}_c$$\nabla _a T^b{}_c$ 的分量记为 $T^{\nu }{}_{\sigma ;\mu }$$T^\nu{}_{\sigma;\mu}$。

任意两个流形上的导数算符 ${\mathrm{\nabla }}_a,{\tilde{\mathrm{\nabla }}}_a$$\nabla_a,\tilde \nabla_a$ 满足 ${\mathrm{\nabla }}_{a}f={\tilde{\mathrm{\nabla }}}_{a}f=(\mathrm{d}f{)}_a$$\nabla_a f=\tilde\nabla_a f=(\dd f)_a$。

🖊 若 ${\omega }_a,{\omega }_a^{\prime }$$\omega_a,\omega_a'$ 满足 ${\omega }_a{|}_p={\omega }_a^{\prime }{|}_p$$\omega_a|_p=\omega_a'|_p$，则对任意 ${\mathrm{\nabla }}_a,{\tilde{\mathrm{\nabla }}}_a$$\nabla_a,\tilde \nabla_a$ 有 ${(({\mathrm{\nabla }}_a-{\tilde{\mathrm{\nabla }}}_a){\omega }_b)}_p={(({\mathrm{\nabla }}_a-{\tilde{\mathrm{\nabla }}}_a){\omega }_b^{\prime })}_p$$\left((\nabla_a-\tilde \nabla_a)\omega_b\right)_p=\left((\nabla_a-\tilde \nabla_a)\omega'_b\right)_p$。故 $({\mathrm{\nabla }}_a-{\tilde{\mathrm{\nabla }}}_a){\omega }_b$$(\nabla_a-\tilde\nabla_a)\omega_b$ 的值仅取决于 ${\omega }_b{|}_p$$\omega_b|_p$，即 $({\tilde{\mathrm{\nabla }}}_a-{\mathrm{\nabla }}_a:\mathcal{F}(0,1)\to \mathcal{F}(0,2))=(C^c{}_{ab}:\mathcal{F}(0,1)\to \mathcal{F}(0,2))\in \mathcal{F}(1,2)$$\left(\tilde\nabla_a-\nabla_a:\mathscr{F}(0,1)\to\mathscr{F}(0,2)\right)=\left(C^c{}_{ab}:\mathscr{F}(0,1)\to\mathscr{F}(0,2)\right)\in \mathscr{F}(1,2)$。

🖊 进一步可得（以 $T^a{}_b\in \mathcal{F}(1,1)$$T^a{}_b\in \mathscr{F}(1,1)$ 为例）：

作用在张量上的导数算符的物理意义是什么？

记在坐标 $\{x^{\mu }\}$$\{ x^\mu \}$ 下的依赖坐标的导数算符 ${\partial }_a$$\part _a$ 满足（以 $T^a{}_b\in \mathcal{F}(1,1)$$T^a{}_b\in \mathscr{F}(1,1)$ 为例）：

其中 $\partial T^{\nu }{}_{\sigma }/\partial x^{\mu }$$\part T^\nu{}_\sigma/\part x^\mu$ 也记作 $T^{\nu }{}_{\sigma ,\mu }$$T^\nu {}_{\sigma,\mu}$。${\partial }_a$$\part _a$ 与 ${\mathrm{\nabla }}_a$$\nabla _a$ 相差克氏符 ${\mathrm{\Gamma }}^b{}_{ac}$$\Gamma^b{}_{ac}$，即

克氏符是依赖坐标的张量。

🖊 对易子 $[u,v{]}^a=u^b{\mathrm{\nabla }}_b{v}^a-v^b{\mathrm{\nabla }}_b{u}^a$$[u,v]^a=u^b\nabla_bv^a-v^b\nabla_bu^a$。

平移 联络 度规确定导数算符

在流形 $M$$M$ 上的曲线 $C$$C$ 上的矢量场 $v^a$$v^a$ 是平移的，若满足在曲线上恒成立：

🖊 对于一条固定的曲线 $C$$C$ 与其上某点 $p$$p$ 上的固定矢量 $v^a{|}_p$$v^a|_p$ 会对应曲线上唯一的平移矢量场。

固定一个微分算符 ${\mathrm{\nabla }}_a$$\nabla_a$，对于流形上的两个点 $A,B$$A,B$，取一条连接这两点的曲线 $C$$C$，则可获得 $V_A\leftrightarrow V_B$$V_A\lrarr V_B$ 的双射。（这个双射是取决于曲线的。）由此也称微分算符为联络。

在选定度规 $g_{ab}$$g_{ab}$ 的流形 $M$$M$ 里，要求导数算符 ${\mathrm{\nabla }}_a$$\nabla_a$ 满足：

即平移变换不改变度规结果。这样可确定唯一的导数算符 ${\mathrm{\nabla }}_a$$\nabla_a$，其克氏符满足:

测地线

......

黎曼曲率张量

......